0除算を子ども達にわかりやすく説明したい

0除算とは、例えば1÷0のように、ある数を0で割る計算のことである。この計算は定義できないとされる。

その説明として、逆演算の不成立がよく挙げられる。ただ、これは簡潔な一方で、丸暗記的な理解につながるリスクが大きいように思う。今回はそれとは別のアプローチで、なるべく単純な例で掘り下げてみたい。

そもそも割り算とは

割り算とは、Aという数の中に含まれる、Bという数の個数を探す計算である。

数字を使うと混乱しやすいので、記号を使って考えてみる。

🔸🔸÷🔸

これは「🔸🔸」の中に、「🔸」がいくつあるか、という問題だ。答えは「2個」である。

また、

🔸🔸🔸🔸÷🔸🔸🔸

は「🔸🔸🔸🔸」の中に、「🔸🔸🔸」がいくつあるか、という問題だ。「🔸🔸🔸」は1つ含まれ、「🔸」が余る。答えは「1+1/3個」となる。

0を割る計算

A÷Bという割り算は、Aという数の中に含まれる、Bという数の個数を探す計算だ。

では、Aが0のときはどうなるだろうか。「🔸」が1つもない状態を「_」として表現してみる。

_÷🔸

「_」の中には、「🔸」が1つもない。したがって答えは「0個」となる。

0で割る計算

A÷Bという割り算は、Aという数の中に含まれる、Bという数の個数を探す計算だ。

この計算には、Bという数が不可欠である。

「_÷🔸」という計算はできても、「🔸÷_」という計算はできない。なぜなら探すべき数がわからない、というか存在しないからだ。

これが、0除算は定義できないとされる理由である。

答えが定義できないのではなく、0除算自体が、割り算の枠組みから外れた式と言える。

0除算は無限にならない

0で割ると答えが無限になる、という理屈がある。

例えば10を2で割ると、その答えは5だ。1で割ると10で、0.5で割ると20になり、0.25で割ると40になる。割る数をどんどん小さくしていくと、答えはどんどん大きくなる。この場合では、割る数が0に近づくほど、割られる10は粉々になっていく。それは宇宙を埋めつくほどの無限の砂になるかもしれない。なので、ある数を0で割った答えはほぼ無限と解釈できる。そんな感じの理屈だ。

しかし、数が「ある」のと「ない」のでは前提が違う。「0に近い数字で割ると、その答えはめっちゃ大きな数字になる、だから0除算の答えは無限になる」という理屈は成立しない。0か、0以外か、それが問題である。

算数は、人間が作り出した表現の中で、最も嘘がない。一貫していなければ、壊れてしまうからだ。その脆さ、堅さ、尊さ、美しさ、そして意外な自由さ、それから愛しさと切なさと心強さと、そんな魅力のあれこれを大切にしたい。